Помогите с заданием по высшей математике!

[Гость]

В понедельник зачет, мне нужно решить примеры, я в этом году в математику вообще не въезжаю!
Может кто-нибудь знает как решать?

1. Найти собственные векторы и собственные значения матрицы:
0 0 1
0 0 0
1 0 0

2. Заданы точки А, B, C, D. Написать уравнение плоскости АВС и опр. угол между прямой AD и плоскостью АВС:
А(1,0,1)
В(0,-1,0)
С(0,1,2)
D(0,1,3)

Очень нужно

[Puzzle]

Я не помню ничего

Но... меня удивило то, что тебе всего два примера решить нужно Вот мне бы так

[Alna]

Эх, пораньше бы написала, чем вчера... Сейчас некогда немножко, ну ладно. Попробую постепенно написать решение, если ещё поможет.

Собственные числа:
Для их нахождения вычитаем по диагонали матрицы лямбда и ищем определитель. Полученное выражение приравниваем к нулю, ищем корни.
Т.е.
|-л 0 1|
|0 -л 0| = (-л)*(-л)*(-л) + л = 0
|1 0 -л|
Корни: л = 0, л = 1, л = -1.

[Alna]

Для нахождения собственных веторов надо подставить вместо л в матрицу уже полученные нами значения собственных чисел и решить системы линейных уравнений, которые задаются этими матрицами.

Например,
для л = 1

получаем матрицу
-1 0 1
0 -1 0
1 0 -1

Т.е. систему
-х1 + х3 = 0,
-х2 = 0,
х1 - х3 = 0.

Ищем решение, получаем х1 = х3, х2 = 0.
Или вектора (х1, х2, х3) = (1, 0, 1)*альфа, где альфа - любое действительное число.

Отсюда видно, что собственный вектор, который соответствует собственному числу л = 1, имеет вид (1, 0, 1).

[Alna]

Для л = -1 имеем матрицу:
1 0 1
0 1 0
1 0 1

Соответствующая система:
х1 + х3 = 0,
х2 = 0,
х1 + х3 = 0.

Решение (х1, х2, х3) = (-1, 0, 1)*альфа, где альфа - любое действительное число.

Собственный вектор, который соответствует собственному числу л = -1, имеет вид (-1, 0, 1).

[Alna]

только посмотри пожалуста в лекциях уравнение плоскости, а то я его не помню

Ax + By + Cz + D = 0 (А, В, С и D - это коэффициенты)

Надо подставить координаты трёх точек, которые не лежат на одной прямой (здесь уже указаны точки А, В и С), и посчитать коэффициенты.

[Alna]

Самый трудный случай.

Матрица для л = 0:
0 0 1
0 0 0
1 0 0

Как видно, для системы
х3 = 0,
х1 = 0,
х2 может быть любым.

Т.е. собственным вектором для л = 0 будет вектор (0, 1, 0).

[Alna]

Пишем уравнение плоскости АВС.

В общее уравнение Ax + By + Cz + D = 0 подставляем координаты точек А, В и С, получаем систему:
А + С + D = 0,
- B + D = 0,
B + 2C + D = 0.

Если без матриц, то из второго уравнения получим B = D, подставим в третье - получим C = -D, полученные значения подставляем в первое и видим, что А = 0.

Таким образом, общее уравнение выглядит следующим образом (коэф-ты B и С выражены через D):
0 + Dу - Dz + D = 0.
Делим всё уравнение на D и получаем искомое уравнение плоскости АВС: y - z + 1 = 0.

[Alna]

Угол между прямой AD и плоскостью АВС

По определению, угол между прямой и плоскостью - это угол между прямой и ее проекцией на эту плоскость.

Т.е. это либо п/2 минус угол между нормой плоскости и направляющей прямой, либо наоборот. Т.е. в решении будет участвовать нормальный вектор плоскости АВС и направляющий вектор прямой AD.

Нормальный вектор: n = (n1, n2, n3) = (0, 1, -1), т.к. координаты этого вектора - коэффициенты при x, y, z общего уравнения плоскости.

Направляющий вектор прямой AD - это вектор, соединяющий точки А и D, т.е. р = (p1, p2, p3) = (-1, 1, 2), его координаты находятся вычитанием координат точки А из координат точки D.

Пусть ф - искомый угол, ищем sin ф = cos (угол между нормой плоскости и направляющей прямой) = |np|/(|n|*|p|), в числителе - модуль скалярного произведения векторов, в знаменателе - нормы векторов.

np = n1*p1 + n2*p2 + n3*p3 = 0*(-1) + 1*1 + (-1)*2 = -1
|np| = 1

|n| = кв.корень (n1*n1 + n2*n2 + n3*n3) = кв.корень (0*0 + 1*1+ (-1)*(-1)) = кв.корень 2

|p| = кв.корень (р1*р1 + р2*р2 + р3*р3) = кв.корень ((-1)*(-1) + 1*1 + 2*2) = кв.корень 6

sin ф = 1/(кв.корень 2 * кв.корень 6) = 1/(2 * кв.корень 3)

Если с числами не напутала, то всё так.

[Alna]

Эх, нравится мне мой статус "Скромный гений" .

Me, Myself & I, а можно узнать, на каком факультете дают такие задания на зачёт?

[Гость]

Alna, спасибо огромное !!!!!!!!!!!!!!
Зачет сдала!
Факультет финансово-экономический.
Фриске, это не все примеры, остальные я решила.